Man, a definição de fractal mais simples que eu te posso dar é dizendo que um fractal é uma figura geométrica
No entanto os fractais são um pouco mais do que isso: São formas geométricas não euclidianas que tem as seguintes propriedades:
>São criados por uma forma geométrica simples que se repete infinitamente
>Têm infinitos detalhes
>São independentes da escala (podes amplia-los quantas vezes quiseres, ou quantas vezes a ram do teu pc permitir)
(Não sei se têm outras propriedades mas estas são as únicas de que me lembro)
Acho que actualmente o estudo dos fractais faz mesmo parte de um ramo da matemática (a matemética dos fractais) que é demasiado complicado para eu o poder entender: Os fractais são criados atraves de equações complicadas cujas raizes (que envolvem números complexos) são interpretadas por um programa informático. Dessa interpretação surgem as tais formas geométricas, ou seja, os fractais
Existem muitos tipos de fractais. Os mais conhecidos são o fractal de Mandelbrot e o fractal de Newton. Pessoalmente não acho muita piada a estes dois porque não têm formas conhecidas (apesar de depois de ampliares o fractal de mandelbrot 40000x lá encontrares uma folha de árvore).
Os fractais mais interessantes são aqueles que representam formas da natureza (folhas, arvores, animais, rios, etc).
Colocas uma equação á tua escolha no programa e de repente aparece um fractal em forma de gato (eh,eh)
O tal programa xaos não te permite escreveres as tuas próprias equaçóes . Ele traz um conjunto de fractais definidos que podes explorar (fazer zoom, procurar padrões, etc) mas mesmo assim é muito cool. Se encontrares padrões porreiros podes memo defini-los como fundo de ambiente de trabalho